المصدر | مجلة كوانتا

ترجمة | تشانغ سبعة وعشرون

استعراض | وو في

"أمي، سروالي على كسر بضعة ثقوب، خياطة لي عن ذلك!"

"لا توجد مشكلة، حفرة كبيرة آه؟"

"جاء حفرة على شكل غريب، ولكن المسافة بين أي نقطتين ليس سنتيمتر واحد أو أكثر."

تسحب الأم بعض الخرق شكل رئيس هو سم دائرة 1 في القطر، بحيث أنها ينبغي أن تكون كافية لملء الثقوب من مختلف الأشكال. ولكن هل هو حقا؟ تريد الأشكال غطاء، ولكن معظم لا يزيد حجمها عن واحد سنتيمتر حفرة، 1 سم القطر رقعة دائرية حقا بما فيه الكفاية؟

دائري "التصحيح"

دعونا نفترض أن كسر ثقب في المثلث على ملابسك، انها طول الجانب من 1 سم مثلث متساوي الأضلاع - بحيث تكون المسافة بين أي نقطتين من المثلث لن يكون أكثر من 1 سم، وذلك تمشيا مع لنا في بداية الحفرة المتطلبات. ولكن سوف تجد أن 1 سم القطر رقعة دائرية لا تغطي كامل الحفرة.

1 سم القطر التعميم لا تغطي تماما مثلث متساوي الأضلاع طول الجانب 1 سم. (ما لم يشر بشكل غير ذلك، الصور الورقة هي من مجلة كوانتا)

بعد عملية حسابية بسيطة، سوف تكون قادرة على فهم هذه الحقيقة. دائرة نصف قطرها 0.5 سم، ولكن وسط مثلث متساوي الأضلاع هي المسافة من قمة إلى 3 / 3 0.58 سنتيمتر - أكبر من نصف قطر الدائرة، دائرة بالطبع، وليس لتغطية قمة المثلث.

بطبيعة الحال، فإن أسلم طريقة لتحضير قطعة كبيرة من القماش، بحيث لا شيء يمكن ملء الحفرة، وهذا هو بعض النفايات. لذا فإن السؤال هو: يمكنك العثور على أصغر قطعة من القماش، ويمكن أن تشكل أي شكل، أي أكبر من حفرة سنتيمتر واحد في ذلك؟

يونيفرسال مشكلة تغطي

في الرياضيات، وهذا ما يسمى " يونيفرسال مشكلة تغطي "(العالمي تغطي المشكلة). والمشكلة هي هنري ليبيسج (هنري ليبيسج) كتب رسالة إلى أخرى رياضيات جوليوس بال (يوليوس بال) والمنصوص عليها في بيان 1914 من المشكلة هناك الكثير، بل هي عرض جوهر 1، وهو رسم على سطح مستو، والمسافة بين أي نقطتين في الرسم لا يزيد 1. مشكلة تغطية عالمية يبيسج، ومطلوب لإيجاد منطقة الحد الأدنى من الرسومات، فمن الممكن أن "الغطاء" عن عرض نمط 1.

في الواقع، لقد ابتليت هذه المسألة التي تبدو بسيطة علماء الرياضيات لمدة مائة سنة، وحتى الآن، فإنها لا تزال لم تجد الجواب النهائي. إذا كان قادرا على تغطية كل عرض من الحفرة 1 فقط، ثم لدينا الكثير من الخيارات، ولكن العثور على أصغر مساحة يصعب جدا.

لمناقشة هذه المسألة، والسماح لعرض الظاهري من شكل تعسفي من R 1، لا أعرف ما يبدو، ولكن يجب أن يكون هناك نقطتين متباعدة على طول وحدة، والتي نسميها ألف ونقطة B.

وحتى الآن تخيل شكل R في نقطة C الثالث، قد C الموجودة في المناطق التي عليه؟ أولا، يجب أن لا يكون C من النقطة ألف إلى النقطة أكثر من واحد. وهذا هو، لدينا في المركز، على طول وحدة من نصف قطر دائرة A، C في نقطة معينة من دائرة (أو محيطي).

والشيء نفسه، C من النقطة (ب) إلى نقطة لا يزيد طول وحدة واحدة، نشير B في المركز، دائرة نصف قطرها عن الدائرة، ثم B، يجب أن تكون نقطة C في نطاق هذه الدائرة.

منذ نقطة C يجب أن يكون في كل دائرة A، وأيضا في الدائرة B، C نقطة ينبغي أن تندرج ضمن منطقة تداخل دائرتين، أي الشكل التالي، "كرة القدم" الشكل.

من جهة C، مطلوب الآخر على شكل R نقطة أيضا لتلبية الشرط نفسه، حتى يتسنى لجميع النقاط في R الأشكال عن سقوط على الخريطة، "كرة القدم" في. وبعبارة أخرى، هذا الشكل يمكن أن تغطي كل ما يمكن من الأشكال R، فإنه هو "تغطية عالمية" الرسومات .

ولكن هذا "كرة القدم" أو القماش كثيرا، دعونا في محاولة لقطع جزء منه.

أولا، إضافة خطين على التوالي موازية لقطعة مستقيمة AB (انظر أدناه)، بحيث المسافة AB هي 1/2، بحيث تكون المسافة بين الخطين على التوالي هي وحدة طول.

الآن لدينا اثنين من المناطق الحمراء كذا و، وأقصر مسافة بينهما هو 1. أو، أي في أن المسافة إلى أي نقطة في أكبر ثابت من 1.

تخيل، إذا كان شكل المنطقة R يضم نقطة معينة في ، والمسافة من أي نقطة إلى هذه النقاط ستكون أكبر من مساحة 1، والذي يتعارض مع متطلباتنا للشكل R. وهذا هو، في هذا الوقت شكل المنطقة R يجب ألا تتداخل مع . لذلك، في و المنطقة، فإننا يمكن أن يقلل لذلك . وبالتالي الحصول على "بيضة الجمال" مثل الشكل، لا يزال عالمية الرسومات غطاء.

قبل القطع، ونحن نستخدم "قطعة قماش" المنطقة 2 / 3-3 / 2 1.228، وبعد قص الشعر، "نسيج" من المنطقة الى / 2-1 / 2 1.071. يرجى تذكر أن نحصل على هذه العملية "الجمال البيض" - من الأرجح أن نفكر رحيل الرسومات، عن طريق خفض مستمر الجزء الزائد، يمكن أن نحصل على منطقة صغيرة من الرسومات التي تغطي العالمية.

هذا ما الرياضيين استكشاف أصغر مساحة وان أسلوب نمط التغطية، لكنها من بداية مسدس.

"مسدس بال"

تذكر يبيسج الذين لا صديق رياضيات بال؟ بعد تلقي بريد إلكتروني يبيسج بار قريبا عرض منحنى على استخدام خصائص واقية، مسدس العكس المسافة الجانبية العادية لل1 يمكن أن تفعله تغطية عامة (منحنى العرض هو المقصود أي زوج من منحنى مواز منحنى المسافة الظل متساوية، فإن معظم شكل شائع من منحنيات دائرية ذات عرض ثابت).

"مسدس بال" في مساحة أصغر مما لدينا "بيضة الجمال"، ومساحتها من 3 / 2 0.866 . ومع ذلك، بار غير راض مع هذا، وقال انه وجد أيضا أن خفض سداسية بعض الزوايا مرة أخرى.

ونحن نعلم أن مسدس منتظم التماثل التناوب زاوية 60 درجة. ثم تناوب على مسدس آخر عن 30 درجة مئوية، ثم مكدسة على مسدس الأصلي، وسوف تكون قادرة على قطع الأصلية زاوية ستة مسدس، والمقابلة لمنطقة الحمراء FIG.

أتذكر كيف كنا "كرة القدم" قطع الزاوية، إلى "بيضة الجمال" في ذلك؟ الخطوة التالية وعملية قطع مشابهة جدا بالنسبة لنا من قبل.

أولا، والمسافة بين كل مجموعة من مثلث صغير نسبيا هي وحدة طول، بحيث يكون لكل ومثلث أحمر ويمكن خفض ل. ونحن نأمل بالتأكيد أن تكون قادرة على قطع ثلاثة - كل واحدة منها هو زوج. ومع ذلك، إذا كنت حقا قطع ثلاث زوايا، ثم هذا الرسم لن تكون قادرة على تلبية شروط غطاء عالمي.

ثلاث زوايا ثلاث زوايا متتالية (يسار) أو البيضاء (: وفقا لالتماثل سداسية، إذا شكلت رسم لثلاثة من مثلث صغير ستة، وأنه قد يكون حالتين الحق). نحن في الرسم باللون الأزرق والأحمر لتمثيل كلا.

إذا حالتنا شكل R يحتل ثلاثة المثلث الأزرق في الجهة اليسرى، ثم ونحن لن تكون قادرة على خفض ثلاثة مثلث أحمر على الجانب الأيمن من الرسم البياني، وسوف تكون الكتابة. وينطبق الشيء نفسه من ناحية أخرى، إذا قطعنا ثلاثة مثلث أحمر على الجانب الأيسر من الرسم البياني، ثم عندما شكل R ثلاثة احتل مثلث الأزرق على المناطق المناسبة، والبحث أيضا لا تكون مشمولة رسومات جديدة.

ولكن حتى لو لم يكن قلصت في وقت واحد ثلاث زوايا، نحن يمكن أن يقلل اثنين على الأقل . إذا نحن لا قطع ولا قريب من قطعتي منطقة المثلث الأحمر، ثم لا تحدث المشكلة المذكورة أعلاه، وهذا هو بال القيام به.

قطع بار زوايا اثنين من سداسية، ونمط جديد وبالتالي حصلت لا يزال قادرا على تغطية كل عرض من شكل. هذا المجال الرسومات الجديدة 2-23 / 3 0.8453 ، بي بير مسدس انخفضت المساحة بنحو 0.0207 .

الاستمرار في تقليم

عمل تقليم المقبل من الصعب على نحو متزايد. عمل بار على أساس من عام 1936، عالم الرياضيات رولان سبراغ (رولان سبراغ) المنطقة التي تمت إزالتها 0.001 كسرة. وفي وقت لاحق، 199 2 سنوات، H C هانسن (H. C. هانسن) قطع من أسفل اليمين واليسار السفلي للذهاب 0.00000000004 وتبلغ مساحة الوحدات مربع (10 عشري 0، لا تحصى).

في عام 2014، رياضيات أحد الهواة مهندسي البرمجيات الخاصة بهم (على الرغم من الهواة، ولكن الناس لديهم أيضا على شهادة الدكتوراه في الرياضيات) فيليب جيبس (فيليب جيبس) اختار بسيط والأفكار الخام إلى الإجابة - نظرة على الجواب، والتفكير في عملية . وبشكل عشوائي من قبل رسومات الحاسوب عرض 2001، رصها معا، ومن ثم تغطية شكله كدليل لمعرفة الماضي على كل من الرسومات الغطاء العلوي خلع الملابس الأسلوب. نشرت برهانه في عام 2015، سوف الصحيفة الرسومات التي تغطي عالمي السابقة انخفاض مرة أخرى 0.0000224 وحدة مربعة .

فيليب جيبس وبال مسدس (المصدر: فيليب جيبس)

هذا الإنجاز يعطي الكثير من الثقة جيبس، في مقال آخر، نشرت في 2018، وقال انه قطع "كبيرة" المنطقة، وعالمية تغطي مساحة من 0.8441 153 إلى 0.84409359 وحدة مربعة .

جيبس جزء الرمادي وقطع زوايا (المصدر: فيليب جيبس)

من 1914 حتى الآن، والرياضيات قد تبحث عن أصغر الرسومات تغطية عالمية، فإنها يمكن أن تذهب بعيدا؟ في عام 2005، بيتر بلاس (بيتر نحاس) وميل بوده شريف (Mehrbod شريفي) إثبات، العالمي تغطي مساحة لا تقل عن 0،832 وحدة مربع. لذلك نعرف ان غادر لعلماء الرياضيات اقتصاص ومنطقة ينفد.

ولكن يمكننا أيضا محاولة اقتراح التكنولوجيا الجديدة، ولكن أيضا نقطة انطلاق جديدة أو قطع، ربما كنت يمكن أن يكون مثل عالم الرياضيات الهواة الذين، مثل، أقرب إلى أصغر الرسومات التي تغطي العالمية.

المراجع:

https://www.quantamagazine.org/how-simple-math-can-cover-even-the-most-complex-holes-20200108/

https://www.quantamagazine.org/amateur-mathematician-finds-smallest-universal-cover-20 181 115 /

تتكون هذه الورقة من بريد إلكتروني الصغير لا الجمهور "العالمي للعلوم" (ID: huanqiukexue) طبع بإذن

مستنسخة الرجاء الاتصال ب NEWMEDIA @ huanqiukexue كوم

تحرير: fengyao