وكما نعلم جميعا، والعلاقة الهندسية بين المادية وبشكل وثيق جدا، ولا شك في أن المثال الأكثر شهرة من آينشتاين النسبية العامة : الزمان والمكان مع هندسة وصف الجذب المادي. هذه المادة سوف محاولة لوصف كيفية استيراد طبيعة الهندسة. دعونا نستخدم مفهوم الفيزياء نلقي نظرة من جديد ظهور منظور الرياضيات.

أولا، نحن بحاجة اثنين من المفاهيم البسيطة: واحد من الرياضيات والفيزياء من آخر. المفهوم الرئيسي للرياضيات هو متشعب (المنوع). إذا لم تكن قد سمعت من قبل متعددة، ومن ثم يمكنك أن تتخيل سطح منحن مغلق، مثل الكرة أو الكعك السطح، ويتشكل لتعزيز تدفق في الفضاء متعدد الأبعاد من هذا الشكل. والغرض من ذلك هو فهم هندسة متعددة من سمات مختلفة، والعلاقات بينهما، واللغة التي نستخدمها لوصف لهم. من الناحية المادية، والشيء الوحيد الذي نحتاجه هو التواضع جسيم . خطتنا هي على النحو التالي: الجزيئات على مشعب للدراسة أن تجول. من خلال فهم سلوك الجسيمات، يمكننا التكهن الفضاء وراء الجسيمات (أي الفتحات) من خصائص مختلفة.

Calabi - الفتحات ياو. | المصدر: أندرو J هانسون، جامعة إنديانا

بداية دعونا من أبسط الحالات، تخيل الكلاسيكية الميكانيكا الجسيمات نظرية الوفاء. هذه الجسيمات الكلاسيكي الأسود والأبيض، فإنه سيكون مثل ما توقعنا: وفقا للمساحة المسار المتداول. مشى الجسيمات الكلاسيكية المسار سيلتقي بعض الخصائص الرياضية الخاصة، وهذا ما يسمى المسار الجيوديسية (الجيوديسية). ومع ذلك، يسمح هذا المفهوم حركة الجسيمات الكلاسيكي محدودة جدا، ولا يمكن أن تستخدم للتحقيق في أعماق الأشياء الفتحات. و هذه الرؤية من الجسيمات الكلاسيكية هي جدا تضييق، فإنه يمكن أن يرى سوى مساحة صغيرة حول تلقاء نفسها، ولكن بعد ذلك طبيعة عامة عن الطريقة لا شعبية يمكن تصوره.

هندسة وميكانيكا الكم

إذا ننتقل إلى ميكانيكا الكم الامور حتى أكثر إثارة للاهتمام. في العالم الكم، الجسيمات لم يعد لديها موقف محددة، تصبح الأمور أكثر غموضا، ونحن بحاجة احتمال لغة لوصف. في ميكانيكا الكم، والجسيمات رياضيا دالة الموجة  يوصف (خ). الدالة الموجية هي وظيفة معقدة، و x هو سلسلة من إحداثيات كل نقطة على التدفق على شكل علامة. احتمال من الجسيمات عند x غير متناسبة | (خ) | . جسيمات الكم فرقت في شكل موجات احتمال أعطى فعلا قدرات أكثر قوة. وهذا ما يسمح يمكن أن الجسيمات الكمومية يشعر أنه يقيس مدى مشعب كامل (وفي المقابل، الجسيمات الكلاسيكية يمكن أن يرى سوى مساحة صغيرة حول تلقاء نفسها). ومن ثم يمكن فهم الهيكل العام للفضاء. ووصفت حالة الكم الجسيمات بالمعادلة شرودنجر:

هذا الرمز

أن يسمى المشغل لابلاس . تحدث تقريبا، فهذا يعني أنك تحتاج إلى فيما يتعلق بجميع الحجج المقدمة الدرجة الثانية التفاضلية. في ظل الظروف العادية، رأينا أول مشغل لابلاس يجب أن تكون نسبة إلى مساحة مسطح ثلاثي الأبعاد

(أي س (س، ص، ض)) لجعل النظام التفاضلي الثاني،

لابلاس وبالتالي تشكيل الفضاء ثلاثي الأبعاد شقة للتوسع واضح للأبعاد المختلفة. ولكن الأهم من ذلك، Laplacian يمكن أيضا أن تمتد إلى منعطف من مشعب. في هذه الحالة، وهذا يتوقف على Laplacian المنوع المقاييس (متري)، وهذا يعني ان هذا Laplacian رموز الفرعية ضمن المعلومات يحتوي بالفعل المسافة بين نقاط مختلفة في الفتحات.

في معادلة شرودنغر أعلاه، E هو العدد الحقيقي فقط. سوف الفيزيائيين يفهم على أنه الطاقة من الجسيمات. الفكرة الأساسية هنا ليست معادلة شرودنجر لأي قيمة E سيكون (خ) حل، ولكن فقط لبعض قيم منفصلة محددة من E قابلة للحل. وعلاوة على ذلك، لأن المشغل لابلاس

يعتمد على فضائنا التي لبحث، يتم تحديد قيمة E من ملاءته من نفس المساحة. هذا يوفر لنا بطريقة مختلفة جدا أن ننظر إلى الهندسة. تستطيع أن تعطيني متعددة، قل لي شكله وانحناء (على نحو أدق، الطوبوغرافية ومتري). نحن نستخدم هذه المعلومات لحل معادلة شرودنجر وأعطي لك نسخ قيمة E. وهذا ما يسمى قيمة السلسلة E Laplacian الطيف أن معظم المعلومات الواردة في مشعب. وتسمى هذه الطريقة في التفكير الطيفية الهندسة (هندسة الطيفي).

هناك طائفة أكثر الهندسي إلى الإصدار الأرض. كان عالم الرياضيات مارك كاك في "يمكننا سماع شكل طبلة؟ "هذه النسخة المذكورة في هذه المادة وجعلها معروفة. اتبع تردد اهتزاز طبلة هو معادلة شرودنجر، ولكن هذه المرة لتلبية شروط الحدود المحددة: شكل البرميل على حافة المجموعة. والسؤال الآن هو: إذا كنت تعرف بالفعل كل من الترددات، يمكنك اطلاق الشكل مكافحة طبل من ذلك؟ الجواب هو لا، ولكن يمكنك الحصول على الكثير من المعلومات حول شكل البرميل. وبالمثل، في هندسة نعلم جميعا أن المعلومات قد لا تكون كافية الطيف يستنتج جميع المعلومات وراء متعددة. ومع ذلك، والهندسة الطيفية لا تزال محتويات غنية الانضباط، الطيف جزءا لا يتجزأ مع مجموعة متنوعة من خصائص مختلفة من الفتحات في شكل مثير جدا للاهتمام.

لمساعدتنا على فهم أفضل لطيف والهندسة، ومثال واحد منا أن ننظر في مشعب بسيط جدا: جولة. دعونا بمناسبة كفافي موقف البعد العاشر. افترض دائرة نصف قطرها R، وجدنا أن x س + 2R في هذا التجسيد، معادلة شرودنغر هي في غاية البساطة، أي،

حلول للمعادلة شرودنغر بسيطة جدا، أي = إكسب (INX / R). في هذه المعلومات في الوقت، "قمنا بدراسة الفضاء هو دائرة" يتجلى في هذه المطالبة: أي من [بسي] على محيط التي ليست سوى قيمة واحدة، (س) = (س + 2R). يجب علينا أن نرى

، وطيف من هذه الدائرة (مشعب بسيط) هو رقم العمود

قريبا سوف ننظر إلى الوراء في هذه الجولة القضية.

على الرغم من أنني قد حان لإدخال هندسة الطيفية من وجهة نظر الفيزياء الكمومية، ولكن ليس الانضباط الهندسة الطيفية اكتشافها من قبل علماء الفيزياء. ومع ذلك، فمن سعيد أن الطيف يمكن أن يكون طبيعيا جدا فيزياء الكم الهندسي وفي الإطار، والعلاقة بينهما أكثر أيضا. على سبيل المثال، لديها أكثر تعقيدا التناظر الفائق خصائص هاملتون الكم الميكانيكية قد استولت بشكل طبيعي درهم المنوع أو الثنائي Erbei كهومولوج] . وبهذه الطريقة، والكثير من نتائج عظيمة في الهندسة التفاضلية يمكنك استخدام لغة الفيزياء الكمومية كرر. اتجاه مثير جدا للاهتمام، ولكن ليس ضمن نطاق هذا المقال. التركيز في هذه المقالة هو ان اقول لكم بعض الأشياء مع بعض اللغة الجسدية الجديدة سوف يكون الوقت قد حان للتفكير في الهندسة.

الهندسة ونظرية الأوتار

نظرية الأوتار هي التي نعرفها حاليا من علبة خطورة توحيد وميكانيكا الكم من أفضل الفرضية. على سطح المفاهيم الأساسية لنظرية الأوتار يبدو سخيفا: فقد جاء في أبسط المستويات، إذا كنت تبحث في عمق كل جسيم، سترى صغيرة تهتز حلقة السلسلة. حاليا، لا يوجد دليل تجريبي لنظرية الدعم السلسلة. ومع ذلك، نظرية الأوتار هي إطار رياضي قوي جدا. الآن اتخذنا هذا الإطار لشرح بعض المشاكل في الهندسة. نفس الاستراتيجية كنا من قبل لا تزال تستخدم، وطرح هذا السؤال: تدفق الطاقة في شكل على حركة الطيف سلسلة ما هو؟

السلوك السلسلة. | المصدر: Steuard جنسن، ألما كلية

دعونا نعود إلى المثال الدائرة. الآن السلسلة يمكن أن تفعل شيئين مختلفين. أولا، سلسلة ثم قد تشكل دائرة حول حركة دائرية صغيرة. لأنه، على ما يبدو من مسافة بعيدة، حلقة سلسلة من الجسيمات، فمن الواضح هذا الطيف سلسلة الطاقة حلقة ينبغي أن تتبع نفس الطيف طاقة الجسيمات، وهي: ولكن السلاسل يمكن أيضا القيام ببعض الجزيئات فشلت في القيام به: أنها يمكن أن تمتد نفسك. يمكنك أن تتخيل السلسلة إلى الشريط المطاطي، تمتد يتطلب طاقة، وإذا كان الخيط حول دائرة حول دائرة م، وسوف يكون لديك الطاقة. وهذا يدل على أن الطاقة في جميع أنحاء حركة دائرية من الطيف سلسلة يحتوي على اثنين من برج الرقمي:

هنا هو الشيء المثير للاهتمام للغاية. وإذا أخذنا R و 1 / 2R استبدال المتبادل (كما هو موضح في المعادلة التالية)، فإن سلسلة من الطيف الطاقة دون تغيير.

وهذا يعني أنه إذا كنت مجرد الحصول على طيف الطاقة واحدة، لا يمكنك تحديد متعددة هي عبارة عن دائرة نصف قطرها R هو نصف قطر الدائرة الكبرى دائرة صغيرة 1 / 2R هو. من وجهة نظر نقطة سلسلة نظر، هذه الدائرتين نظرة واحدة! بالطبع، نحن هنا فقط لمناقشة طيف الطاقة من السلاسل، ولكن في الواقع كافة الخصائص هي يمكن سلاسل متابعة تبادل الصيغ أعلاه ولم يتغير. وتر حقا لا يمكن التمييز بين دائرة كبيرة ودائرة صغيرة. هذه حقيقة جميلة، اسمها عادي جدا: T مزدوجة (T-الازدواجية).

وجود سلسلة الارتباك ليس فقط في هذا المثال البسيط، دائرة، بل تمتد أيضا إلى المنوع الآخرين. تحدث تقريبا، هناك الفتحات يقترن دائما. وعلى الرغم من وجهة نظر من الجسيمات، وزوج اثنين من الفتحات هذا يختلف كثيرا عن نقطة سلسلة نظر، سواء الزوج متعددة، ولكن الشيء نفسه بالضبط. (ويسمى هذا الاستنتاج لفئة خاصة من Calabi - ياو مشعب على حق تماما، ومشعب الآخر هناك نسخة موسعة قليلا). ومع ذلك، فإن العلاقة بين الفتحات اثنين ليست كما دائرة الكبيرة التي صغيرة علاقة بسيطة مستديرة. بدلا من ذلك، الفتحات اثنين للوهلة الأولى ليست ذات الصلة. أكثر من مرة، حتى أنها الطوبوغرافية (أي عدد من الثقوب التدفق في الشكل، مثل الثقوب دونات) مختلفة.

بين وهذا ما يسمى زوج من الفتحات مرآة التناظر (التماثل مرآة). سلسلة لا يمكن التمييز بين الفتحات اثنين ولكن هو في الواقع ميزة وتر كبير. أولا وقبل كل شيء، ونحن نعلم أن هناك علاقة غريبة جدا وغير متوقعة بين الفتحات. وعلاوة على ذلك، وعادة ما تكون من الرياضيين الكثير ليقوله لمشعب واحدة، ولكن بعد الآخر أن أقول شيئا. ومع ذلك، وفقا لنظرية الأوتار، الفتحات اثنين هي نفسها، تحتاج فقط إلى استخدام الطريقة الصحيحة لرؤيتهم. على أي من مشعب الأول (الجواب) يمكن أن الأسئلة اقول لكم بعض الأشياء مثيرة للاهتمام حول الفتحات الأخرى. (بالمعنى الدقيق للكلمة، كل شيء عن مشعب الأول هندسة معقدة ويمكن تحويل المشاكل إلى الميدان فيما يتعلق متعددة أخرى هندسة شين مشكلة المناطق). وهكذا، يمكن أن تحول التماثل مرآة إلى أداة قوية تسمح لنا لاستكشاف بعض متعددة لم نفهم سابقا من خلال دراسة أساليب الفتحات الزوج.

مرآة التناظر اكتشف قبل 25 عاما. في ذلك الوقت، وأصبحت واحدة من أهم مجالات البحث الهندسة مرآة التناظر، وجذب عدد كبير من علماء الرياضيات والفيزياء. علينا أن نعترف والرياضيات والبحوث الفيزياء بشكل مختلف. علماء الفيزياء لا تميل إلى سيكه على الصرامة، ولكن أكثر اعتمادا على بعض من طبيعة بصرية من مكان الحادث لفهم كيفية بناء آخر على أساس تخمين المضاربة على القمة. وبطبيعة الحال، الرياضيات خمنت في منذ بدقة ثبت أن غير راض. ولكن عددا من التماثل مرآة ينمو جنبا إلى علماء الرياضيات والفيزياء اليد لاستكشاف مشكلة مع واحدة من المناطق القليلة. وقد أدت هذه العلاقات الودية والتعاونية في الرياضيات والفيزياء الازدهار.

الكاتب: ديفيد تونغ (جامعة كامبردج)

الترجمة: سو تشون (جامعة هارفارد)