هذه المادة من قبل "من حيث المبدأ" (عدد الجمهور قناة الصغرى: principia1687) طبع بإذن،

حظر مستنسخة الثانوية.

1. فقاعة جميلة يجلب مشاكل الرياضيات

ما هو أقصر طريق بين نقطتين على متن طائرة ذلك؟

A خط مستقيم.

على أقصر طريق بين الطائرة 02:00 A و B هو خط مستقيم، فإن أي طريق آخر الواضح لفترة أطول. | المصدر:

معظم الناس سوف أعتقد أن هذا هو بطبيعة الحال بطبيعة الحال، ماذا يمكن أن تفعل؟ يمكننا أيضا استخدام الرياضيات صارمة لإثبات هذا هو الحال في الواقع. لمسار العلاقة بين أي نقطتين، هناك صيغة يمكن إعطاء طول مسار (إذا كنت تعرف حساب التفاضل والتكامل، ونعرف أن هذه الصيغة هي جزء لا يتجزأ). من خلال بعض الخطوات الجبرية، سوف تكون قادرة على العثور على أقصر مسار وأدنى القيم التي تحددها الصيغة. هذا يثبت أن تنتمي حساب التفاضل والتكامل من الاختلافات . طريقة تباين هو فرع من فروع الرياضيات، وهي عبارة عن المبلغ المطلوب تحت رقم معين من الشروط القيمة المتطرفة الأسلوب.

واذا كنا سوف يصدر بعد الارتفاع، سوف مشاكل مماثلة تقودنا إلى عالم جميل من فقاعات الصابون.

الصابون لديه شكل مثالي، والضوء المنعكس عن سطح الفيلم قبل وبعد رغوة قد تتداخل مع بعضها البعض، وبالتالي تكوين الألوان الملونة. فقاعات الصابون في العالم الرياضي جميلة لأنها السطوح الحد الأدنى وخير مثال. عندما حجم ثابت من الهواء المغلقة داخل رغوة، ثم سيتم التقليل من التوتر من سطح الفيلم، وبالتالي سحب فقاعات لديك سطح الحد الأدنى في شكل حجم معين، وشكل منها هو المجال الأمثل.

وإذا أخذنا تراجع الدائرة الصغيرة في الماء والصابون، وسترون في الحلبة في طبقة من فيلم شكل الصابون، ويتكون هذا الفيلم على الدائرة الداخلية لديها أصغر مساحة ممكنة. قد تعتقد أن هذا الفيلم يحتوي على مجموعة واسعة من الأشكال، على سبيل المثال، فإنه يحتوي على عدد من التوقعات، ولكن في واقع الأمر كانت الطائرة، لأنه من أجل جعل منطقة، التوتر السطحي، والطاقة إلى أدنى حد ممكن - حب بسيطة من الطبيعة .

وهذا يعطي الرياضيين جلبت مشكلة كبيرة: العثور على أقصر الطرق بين نقطتين في طائرة قد يكون من السهل إلى حد ما، ولكن يمكن أن نجد أيضا في منطقة الحد الأدنى سطح ضمن إطار ذلك ؟ في الواقع، ويتم تشكيل الحد الأدنى من السطح ليس فقط في سطح كبير من الإطار، والذي هو في حد ذاته يتألف من العديد من سطح الحد الأدنى صغير منه.

أبحث الحد الأدنى من السطح هي مشكلة صعبة للغاية. حتى القرن 19، والناس يعرفون سوى ثلاثة أسطح الحد الأدنى: طائرة ، سطح سلسال و شبيه الحلزون .

سطح سلسال. | المصدر: Soapbubble.dk

وينظر شبيه الحلزون كإصدار مجسمة من الحلزون. | المصدر: الاستكشاف

2. السعي لتحقيق الحد الأدنى

علماء الرياضيات كارن أولنبيك (كارن أولنبيك) هو الحائز على جائزة أبيل 2019، وقالت انها تأسست جائزة أبيل 16 عاما منذ أول امرأة تفوز. في عام 1966، تلقى Uhlenbeck أطروحة الدكتوراه حول " تباين وطريقة التحليل العالمي "عندما التقت في 1970s جوناثان ساكس بعد (جوناثان ساكس)، وتحول انتباهها لدراسة الحد الأدنى من السطوح. Uhlenbeck في مقابلة عام 2018، وقال: "أنا لا أعرف الكثير عن الحد الادنى من الاسطح، ولكن سنناقش معا، والعمل معا وبعد ذلك أحضر المعرفة عن الحد الأدنى من السطح، أحضرت هذا. الفكرة الرئيسية للدراسة ".

محدد في المنطقة طاقة السطح الحد الأدنى هو أسهل من طريقة العلاج. كما يمكن وصفها طول الطريق بين النقطتين كجزء لا يتجزأ مع، قد تكون طاقة السطح. القيام به هو ايجاد صيغة للحد من الأسطح الطاقة.

عندما السبيل الوحيد للتعامل مع هذه المشكلة سوف تكون بسيطة نسبيا. لأن مسارات مختلفة تتقارب تدريجيا أوثق وأقرب، حتى تلتقي في نهاية المطاف إلى مسار الحد.

مسارات أزرق أحمر تلتقي لتخطيطيا للمسار. ولنا أن نتخيل عدد لا حصر له من المسارات أقرب إلى قطعة زرقاء من مسار أحمر. | المصدر:

مفهوم الطاقة تقارب وثيق الصلة: إذا كانت مجموعة A، B على نحو سلس الطريق بين النقطتين، والطاقة من كل مسار هي أصغر من قيمة حرجة، ثم يمكنك تحديد عدد الوارد في مسار مجموعة، فإنها وسوف تلتقي ل، مسار المستمر بين نقطة ووحدود B. وبما أن المشكلة الأولى هي العثور على أقصر الطرق من لانهائية مسارات متعددة A، B في نقطتين، لذلك هذا الاكتناز (وتسمى هكذا بسبب الاكتناز أقصى) عن نتائج مهمة.

ومع ذلك، عندما ترتفع مشكلة إلى السطح، والطاقة ليست كافية لتعطي نتائج مماثلة. والمشكلة هي أن سطح يمكن وصفها في العديد من الطرق. على سبيل المثال ليست بهذه جيد، دعونا نتخيل النظرات السطحية مثل كرة مشوه، سطح وعر مثل البطاطا، أو عن طريق كرة القدم مفرغة من الهواء.

إذا كان كل نقطة x على البطاطس لها نقطة المرتبطة المجال، ثم المجال يمكن استخدام خريطة لسطح البطاطا. ولكن، كيف ترتبط يشير إلى عدد من الخيارات المختلفة، لذلك هناك العديد من الخرائط المختلفة. | المصدر:

للتعامل مع مثل هذا السطح، قد تكون قادرة على بناء من سطح كروي لتعيين هذا: كل نقطة من المجال هي كل مجال نقطة واحدة من تشوه وهذا. هذا هو السبب في أننا نستخدم خرائط على الكرة الأرضية كروية لتمثيل الأمور عندما الأرض ليست كرة مثالية. ولكن هذه النقطة يتوافق مع نقطة على سطح منحن التي المجال يمكن أن يكون العديد من الخيارات المختلفة، وهناك الكثير من اختيار رسم الخرائط المختلفة.

الطاقة 3. اضطراب

الرياضية العالم Uhlenbeck وساكس، ووصف السطوح حيز ثلاثي الأبعاد (أو أي متعددة أخرى) أيضا أنواع معينة من رسم الخرائط. في هذه الحالة، لا علاقة صيغة الطاقة سطح بالضرورة إلى تعيين من النوع المستخدم، على وجه الخصوص، وهي مستقلة عن حجم المسافة. ومع ذلك، لسلسلة من الخرائط، ويمكن أن يكون مقياس مهم جدا: قد يعطل ذلك التقارب من تعيينات، بحيث لا يمكننا الحصول على هذا النوع من النتائج المطلوبة لإثبات الاكتناز وجود الحد الأدنى من السطوح.

وجدت Uhlenbeck وساكس وسيلة ذكية لحل هذه المشكلة. انهم تعديل الطاقة سطح التعبير المعتاد، مما أسفر عن عدد من تعبيرات مختلفة قليلا. ويمكن لهذه التعبيرات الجديدة تؤثر على نطاق الأداء، والتي يمكن استخدامها لإثبات النتائج الاكتناز. وهذا يعني أن لكل تعبير مختلف قليلا، يمكن أن نجد تعيين الحد الأدنى معنى. يمكننا بناء سلسلة من تعبيرات مختلفة قليلا من الطاقة، وسوف تلتقي جميعها في نقطة الطاقة الأولية التعبير. كل ديها قناعاتها التعبير يختلف قليلا من خريطة صغيرة للغاية، وبالتالي فإن الفكرة التالية هي للتحقق من التعبير عن الطاقة بالمقارنة مع النص الأصلي، وهذه الخرائط صغيرة تتقارب إلى ما إذا كان أي نتائج ذات معنى.

Uhlenbeck وساكسفون يثبت، إلا أنها تلتقي لنتائج ذات مغزى، على الأقل في معظم الحالات. في مرحلة ما من مجال من هذه السلسلة قد لا تتلاقى خريطة صغيرة جدا، ولكن هذا يمكن أن يكون سوى عدد محدود من النقاط، ولكن ما زال من الممكن وصف هذه النقاط غريبة: هذه النقاط في منطقة صغيرة في جميع أنحاء الخريطة تعديل نطاق، وسوف تجد هذه المناطق للتوسع في "فقاعة" على رسم الخرائط السطحية تلك التي وصفها.

M لرسم الخرائط N من السطح. أصبح توسيع فقاعة حول منطقة قليلا غريبة حول هذه النقطة. | المصدر: المناقصات من المجتمع الاميركي الرياضية

ويسمى Uhlenbeck تعديل نطاق "الفكرة الرئيسية"، والفكرة يجعل Uhlenbeck وساكسفون يمكن أن تثبت النتائج المهمة لوجود الحد الأدنى من السطوح. كما أن لديها العديد من المشاكل الأخرى في التطبيق. وقال Uhlenbeck: "العديد من المشاكل تماما الهندسة (لا يعيرون اي اهتمام على نطاق و) إذا كان لديك مشكلة تبحث التدبير، ولكن ما ليس هناك البعد الخارجي الأصيل، ثم حقيقة أنه يمكنك تغيير مقياس .."

4 فقاعات الصابون بعدها

الأسطح الحد الأدنى من البحوث الرياضية لها أهمية بعيدة المدى، Uhlenbeck والمساهمة ساكس في هذا الصدد للعديد من التقدم الكبير في وقت لاحق وضعت الأساس، وحتى يصل الأمر إلى مجال الفيزياء، ما هو أبعد من مسألة فقاعات: الفيزياء منزل يحاول بناء نظرية كل شيء، تصف ليس فقط ما يمكننا أن نرى، لا يمكن ان يفسر تجربتنا صغيرة جدا وعلى نطاق واسع جدا في العالم.

وصف المفهوم الذي ينطوي ذلك بكثير، وليس كما بديهية كما فقاعات، ولكن الحد الأدنى السطح بين النظرية والفيزياء الكم نظرية المواصفات، وأوجه التشابه الرياضية. وقال Uhlenbeck: "هناك حقيقة رياضي قوي هو أن الحدس وتقنية يمكن أن تنتقل ذهابا وإيابا بين النظرية ونظرية قياس الحد الأدنى من السطوح."

وبحلول أواخر الرياضيات مايكل عطية (مايكل عطية) وحي في أواخر 1970s، وتحولت Uhlenbeck انتباههم إلى دعم فهمنا النظري لفيزياء الجسيمات - يانغ - نظرية ميلز. عندما تضطرب الفيزياء بأنها واحدة من الرياضيات، Uhlenbeck رياضيا خلق صرامة يونغ - دراسة مطحنة نيوكاسل المعادلة، في هذه العملية، وقالت انها وجدت مفهوم ظاهرة فقاعة والاكتناز. عملها في هذا المجال وضعت الأساس لجميع الأعمال اللاحقة لنظرية قياس. وكانت مشكلة الفيزياء وحي، أطلقت دراسة instanton، وفي نهاية المطاف ثورة في مجال الرياضيات البحتة.

أقنع Uhlenbeck أن الرياضيات لديها الكثير من جوانب مختلفة، وقالت يشبه إلى حد كبير جدا لرؤية الصلات بين هذه الجوانب المختلفة. كانت مهتمة جدا في ما يتعلق غيرها من مجالات الرياضيات، لكنها أيضا أقامت علاقات تحصد جائزة المؤكد هابيل.

ترجمة: كرو سن المراهقة

الروابط المرجعي:

 https://plus.maths.org/content/abel-prize-2019

 

المصدر: المبادئ

تحرير: لامعة

المواد الشعبية الأخيرة TOP10

انقر على العنوان لعرض

1. قوانين الفيزياء اقول لكم كيف قاسية الحقيقة عن الحب هناك!

2. الامبراطور اليشم في النهاية يعيش في طبقة الستراتوسفير أو التروبوسفير؟

3. كرات زجاجية في نمط كيفية الوصول إلى ذلك؟ الطفولة القراءة سر حلها أخيرا

4. لا يقلد! العنب اثنين معا في فرن ميكروويف، يمكن أن يحرق بيتك هو ذهب

5. 100 سنة النظر في النجوم

6. لا أعرف، لا نقول لكم قراءة "يتجول في الأرض"

7. كيف التصنيع حجم الماس

8. يانغ - ميلز مثلا نظرية ما؟ وقال لماذا يانغ كان وراء المساهمات نوبل؟

9. لا ورق التواليت حول كيفية تجنب؟ بعد قراءة هذه المقالة سوف نفهم

10. نيوتن نعش اختبأ، يرجى جأت إلى هذا كان دفاعا عن النفس!