بحث مجالات الميدالية مارتين هايرر المفارقة المظروفين في هايدلبرغ المنتدى على جائزة نوبل في سبتمبر 2017.

دعونا تلعب اللعبة: هناك نوعان من المغلفات على الطاولة، والذي يحتوي على مبلغ معين من المال في مظروف داخل كمية مظروف آخر لمرتين. ولكنك لا تعرف مقدار غضون يومين يتضمن كل مغلف. يمكنك أن تأخذ واحدة، بحيث المغلف النقدية هو لك. ولكن قبل فتح المغلف، لديك فرصة لتغيير التحديد. لذلك، يجب التمسك الاختيار الأولي الخاص بك؟ أو اختيار الظرف آخر؟

إذا لم تتمكن من اتخاذ قرار، فإنه قد تساعد الرياضيات لمعرفة ذلك. يمكننا حساب التغيير ولا تغير الظرف، يمكنك الحصول على مبلغ توقعات . في نظرية الاحتمالات، والقيمة المتوقعة هي المتوسط من المثالية، فإنه يعكس احتمال أن شيئا ما كان النتائج الممكنة. افترض أنك أولا تحديد عدد المغلفات في كمية السينية، فهذا يعني أن كمية من المغلفات أخرى يتم تثبيت إما 2X، إما س / 2، واحتمال هذه المبالغ هما 1/2. إذا كان الأمر كذلك، ثم استبدل المغلف، والتوقعات لمبلغ من دخلك

ومن الواضح أن هذه النتيجة هي أكبر من x، لذلك يجب أن يتم استبدال.

ولكن في هذه الحالة، يشير ينشأ التناقض. إذا كنت تستطيع العودة إليها مرة أخرى بعد تغيير الظرف؟ حسنا، وفقا لاستنتاج أعلاه، يجب أن تستمر في تغيير مرة أخرى. إذا كان هناك الثالث والرابع والخامس ...... العديد من الفرص مثل هذا التحول من المغلف، لا يجب عليك أن لا تتوقف أبدا في مقابل ذلك؟ إذا كان الأمر كذلك، في نهاية المطاف سوف يكون محاصرا في حلقة لا نهاية لها من عملية التبادل، وليس بيني و. هذا هو التناقض معروفة نظرية الاحتمالات: المظروفين مفارقة .

لذلك، فقط الاستدلال ليست مشكلة؟

[A حل]

وسوف يكون الخيار الأول من مغلف المسمى A، الذي يحتوي على كمية من العاشر؛ بقية المغلف ملحوظ B. ومن الجدير بالذكر أن - قبل أن لم تكن قد فتحت المغلف A، x هو ليس مبلغ ثابت، ولكن متغير عشوائي . ويمكن أن يكون أي من اثنين وكمية صغيرة من. إذا كمية صغيرة من الكتابة ذ، وبالتالي فإن أكبر كمية من القيمة، مقارنة مع 2Y. منذ A هو اختيار عشوائي من المغلف، وبالتالي A يحتوي على كمية أكبر أو أقل من احتمالات بنسبة 50. وهذا يعني أن المبلغ المطلوب من المغلف A E (A) هو

قلنا من قبل، ونتوقع كمية المغلف B هو

ولكن تذكر، والعاشر ليست قيمة ثابتة، والتي يمكن أن يكون أي واحد من اثنين القيم. إذا كان مقدار B يرد في قيمة المغلف هو 2X، ثم والمغلفات التي تحتوي على كميات صغيرة، في هذه الحالة س = ص. إذا كان مقدار B هو غلاف س / 2، ثم المظاريف والتي تحتوي على كمية كبيرة، في هذه الحالة س = 2Y.

لذلك، في المعادلة أعلاه، س الأول يمثل ذ الحقيقي، و x يمثل 2Y الثانية. وبعبارة أخرى، س في الواقع معادلتين مختلفة، لذلك هناك يجب ألا تكون مجتمعة للحصول على 5X / 4 القيمة المطلوبة .

نحن بحاجة إلى استبدال X Y الأولى المعادلة يحدث، بدلا من استخدام س الثانية 2Y، لإعطاء

ونتيجة ل E (A) = E (B) ، وهذا لا تدر دخلا الصرف المغلف، والتمسك الاختيار الأصلي أو التبديل لن يكون له أي تأثير، ما المفارقة غير موجود.

[إذا قمت بفتح A؟ ]

إذا قمت بتغيير المشهد، سوف تفتح بعد اختيار A، ورأيت كمية الوارد في الداخل. في هذه الحالة، س يصبح قيمة محددة سلفا. ثم المبلغ في مظروف B هو سوى احتمالين: إما 2X، أو س / 2، وكلاهما الاحتمال هو 50. ولذلك، يمكننا حساب المبلغ المتوقع من المغلف B هو

في هذه الحالة يتضمن المغلف مبالغ تحت A، هذه المعادلة صحيحة. وهو يخبرنا بأن، في المتوسط، فمن الأفضل أن المغلفات التبديل لا يظهر التناقض الخيارات. إذا، بعد المغلف إلى B، يمكنك أيضا الحصول على وفرصة في العودة لن يعود لك، لأنك تعرف بالفعل توقعات مبلغ من المال في ظرف أقل من B، وبالتالي لن يعود ل.

هذا التناقض موجود في نسخة وصفها في بداية المقال، فذلك لأننا يعاملون على قدم المساواة ننظر في هذه المغلفات اثنين - وهذا هو تناظر الوضع. لكن بمجرد فتح المغلف A، تم تدمير التماثل منه .

ومن الجدير بالذكر أنه عند فتح المغلف A، والتي هي مجهزة تجهيزا مبلغ العاشر، والتي من المرجح أن يغير الخاص المغلف B مع إطلالة على احتمال 2X أو س / 2 في. على سبيل المثال، إذا كان x هو مبلغ كبير جدا من المال، فإنك قد يكون أكثر ميلا للمضاربة في مظروف B من غير المرجح أن تحتوي على ضعف كمية 2X. سوف نتذكر كميات احتمال ص اكبر الواردة في المغلف A، B المغلف، ثم قيمة E المتوقعة (B) ثم يصبح

وبهذه الطريقة سوف نجد، إذا وفقط إذا ع <  2/3، E (B) هو أكبر من س. وبعبارة أخرى، ما دامت عليك التأكد من A يحتوي على كمية كبيرة من قيمة احتمال وأقل من 03/02، يجب تبديل المظاريف.

بالنسبة لبعض الناس، والأسلوب أعلاه كافية لحل التناقض المظروفين، ولكن لا يمكن لأي شخص أن يوافق على هذا. على التفكير في هذه المسألة، وقد قضى الناس الكثير من الوقت والحبر.

الترجمة: Zuoyou

الرابط الأصلي: الشبكي: //plus.maths.org/content/two-envelopes-problem-resolution