في الرياضيات، نظرية النقل المثلى (نظرية النقل الأمثل) هي منطقة نشطة للغاية من البحث، وقد اجتذب بعض من أفضل العقول الرياضية في هذا المجال، أليسيو فيغالي باعتبارها واحدة من أهم قادة والمبتكرين تبرز. مؤلفاته حوالي 150 أعمال، حتى وصلت لعالم الرياضيات سن التقاعد، وهذا يعد إنجازا كبيرا جدا، ولكن في سن 34 كان عليه أن إنشاء مثل هذه الانجازات العظيمة، هو ببساطة مدهشة. أكثر أهمية من عدد من كتاباته هو من الاتساع والعمق، كل هذا يظهر فضوله واسعة، والبصيرة والقدرة الفنية العالية المعلقة.

اليسيو زارة Figalli الرياضيات، جامعة المكتبة البريطانية في دورهام (جامعة دورهام). زوجته ميكايلا Iacobelli هو أستاذ للرياضيات في جامعة دورهام، وهو المعهد الاتحادي السويسري للتكنولوجيا زيوريخ (ETH) استاذا للرياضيات. | المصدر: توم باركر / QuantaMagazine

إنجازات لFigalli تفعل نظرة شاملة غير ممكن في فترة قصيرة جدا. حتى هنا يجب علينا أولا أن أعرض بإيجاز مفهوم النقل الأمثل، ومن ثم وصف القضايا الثلاث لتوضيح نطاق العمل Figalli وبراعة.

أليسيو فيغالي عاما البالغ من رياض الأطفال في روما. وقال: "أحاول دائما أن توازن كيفية الحصول على درجات جيدة، والوقت الذي يستغرقه لتحقيق مثل هذه النتيجة لقد تم القيام الأمثل، وكنت ترغب في الحصول على أفضل النتائج بأقل جهد ممكن .." | المصدر: أليسيو فيغالي

نظرية النقل المثلى

أفضل طريقة إذا كتاب ن وضعت على الرف، ثم تحول هذا الكتاب بأكمله إلى الحق وموقف واحد، وأول كتاب ن موقف واحد إلى اليمين، ثم أول (ن 1) يتحرك نحو اليمين كتاب موقف ...... وهلم جرا، وأخيرا أول كتاب لنقل موقف واحد إلى اليمين. "التكلفة (تكلفة)" هذا الأسلوب هو ن الخطوات. هناك حل أمثل آخر إلى "التكلفة" هو ن الخطوات، وهذا هو أول كتاب للانتقال مباشرة إلى مواقف ن إلى اليمين. كلتا الطريقتين هي خريطة النقل الأمثل.

منذ حوالي 250 سنة، وعالم الرياضيات الفرنسي مونجي (غاسبار مونج، 1746-1818، والد الهندسة التفاضلية) لأول مرة في مثل هذه القضايا في تحليل دقيق من أعماله، حلل كيف نقل مواد البناء من المصدر إلى موقع البناء، وتمكين بأقل تكلفة. من وجهة هندسية مجردة من مشاهدة هذه المسألة، وخلص مونجي أن خرائط النقل المثلى هي مواد البناء التي سافر أقصر مسافة.

مشكلة النقل المثلى هي بديهية جدا، ولكن من وراء لا ينبغي التقليل من التعقيد الرياضي. والحالة التي يكون فيها تعقيد المواد من الانتقال من مكان إلى آخر، أو أكثر تعقيدا، يتم نقل تعدد المواد من الموقف المبدئي لعدد وافر من المناصب الهدف من تعدد الاحتمالات المختلفة.

على سبيل المثال، إذا كان استخدام لا يقتصر على عربة صغيرة لنقل مواد البناء، وربما بعد ذلك عربة صغيرة يمكن توزيعها على عدد وافر من إمدادات استهداف الموقف، على سبيل المثال مع مجرفة إلى الانقسام. من أجل العثور على طريقة الأمثل، ويمكن تقسيم المواد الشحن إلى عنصر صغير بلا حدود، ومن ثم تحديد شحنها واحد هنا، أن سفينة للوصول إلى هناك. لذلك سيكون هناك عدد لا حصر له من درجات الحرية، فقط استخدام التحليل الرياضي لدراسة بلا حدود تغييرات واسعة متناه في الصغر أو.

بعد فترة تتراوح بين حوالي 150 عاما، وقد لا أحد يعمل استمرار مونجي إلى تطوير، ويرجع ذلك جزئيا لعدم وجود الأدوات الرياضية اللازمة. إلى 1940s والاقتصاديين وعلماء الرياضيات كانتور بتروفيتش (ليونيد كانتروفيتش، 1912-1986) تطبيق نظرية القياس والتحليل الوظيفي لهذه الأدوات الرياضية الحديثة لجعل هذا الموضوع مرة أخرى إلى الحياة. وسعت مجموعة من المشكلة، ليشمل حالات أكثر تعقيدا، مثل العديد من المقالات لمختلف إمدادات مخبز بعض المقاهي. في هذه الحالة، والنقل الأمثل خريطة إرادة مخبز ومقهى مباراة، حتى أن مجموع بأقل تكلفة نقل السلع المخبوزة. في عام 1975، كانتور بتروفيتش لأن عمله حصل على جائزة نوبل في الاقتصاد.

تشو وغيرها من القضايا

في 1980s، الرياضيات حققت بعض التقدم النظري مهمة في مجال النقل الأمثل، أن تؤدي إلى انفجار في مجال التخطيط الحضري والهندسة وميكانيكا السوائل، ومعالجة الصور، والتعرف على شكل والبيولوجيا، الخ تطبيقات جديدة. كما تحفز هذه التطورات استخدام وسائل النقل الأمثل في مجال الرياضيات، وخاصة من حيث هندسة ريمان والمعادلات التفاضلية الجزئية. Figalli وزملاء العمل فرانشيسكو ماجي و ألدو Pratelli بحث تشو وغيرها من القضايا (مشكلة Isoperimetric)، الذي هو مثال نموذجي في المعادلات التفاضلية الجزئية.

ويمكن تفسير المشكلة isoperimetric الكلاسيكية على النحو التالي: لمساحة الأراضي لتحديد عدد من السور، ما شكل تحيط بها أكبر؟ ويمكن أن تظهر الشكل المفضل هو دائرة ومنطقة شجب محاطة طول السكك الحديدية دائرية ثابتة يمكن التقليل.

أسطورة يونانية قديمة قرطاج بشأن إنشاء قصة من هذا القبيل. جاء الملكة ديدو إلى شمال أفريقيا، طلب قطعة أرض للملك المحلي لبناء مدينة. وعد الملك الجلود لها أن تحيط حجم الأرض، ثم تقطع إلى شرائح البقر والملكة، وصلة، وتحيط بها دائرة على مقربة من الساحل، لأن طول أقصر كفافي يمكن أن يكون دائري، يحيط أكبر منطقة . هذه هي مدينة قرطاج، وهذه القصة هي مشكلة isoperimetric. | المصدر: الحركة الإسلامية الأوزبكية

الصابون هو مثالا مثاليا مشكلة الطرفية الأخرى آخر: في حالة أرفق حجم ثابت من الهواء فقاعات بحيث نوع معين من الطاقة - التوتر السطحي للفيلم الصابون إلى الحد الأدنى.

فقاعة صابون في الهواء كروية تقريبا، لأن الشكل الكروي هو الأكثر استقرارا، في حالة أرفق حجم ثابت من الهواء، وأصغر مساحة سطح كروية، مما يتطلب حدا أدنى من الطاقة للحفاظ على الشكل. | المصدر: الحركة الإسلامية الأوزبكية

عندما يقول الفيزيائيون الاستقرار فقاعة الصابون، وهذا يعني إذا تلامس قليلا فقاعة، وسوف يهز قليلا فقط، لمسة خفيفة لا تؤدي إلى تغييرات كبيرة في شكل تحدث. ويمكن وصفها علماء الرياضيات واستخدام صيغة عدم المساواة عندما فقاعة الصابون بقليل تعمل باللمس، ما يحدث في النهاية. وسوف يثبت أن التوصيف الرياضي مع درجة معينة من الاستقرار، لاحظ تتفق في طبيعة معنا.

البلورات وفقاعات الصابون مثل، والذي يستخدم أيضا الطاقة شكل الحد، على الرغم من أن هذا هو يحدده التركيب الذري من الكريستال، من شكل مختلف. على الرغم من أن خصائص فقاعات الصابون وبلورات من قرن كان من المفهوم، ولكن هذه الميزات هي مثالية للغاية، ولم تنظر قوى أخرى ممكنة. على سبيل المثال، إذا تم تطبيق بعض النوع من الطاقة لبلورة من الخارج، مثل الطاقة، ثم تشوه وضوح الشمس كيف؟ وشكل تكون مشابهة للشكل السابق بعد التغيير، أو مختلفة؟ علماء الرياضيات تريد الكمي الدقيق لهذا الاستقرار.

يتم معاملة هذه القضية باعتبارها شريكا وحل Figalli الأمثل مشكلة النقل. عندما حجم الطاقة التطبيقية هو E، شكل المثل الأعلى للبلورات هو "نقل" في شكل جديد. مربع المسافة لنقلها عند نقطة خسارة وظيفة والكريستال في شكل جديد، والتي هي تكلفة هذه العملية. Figalli، الذين كانوا نتيجة ببساطة مفاجئة: عندما يكون النظام هو إقامة استقرار الحل، في المتوسط، وكمية الحركة من كل نقطة والنتائج النظرية العميقة متساوون، يعني ذلك أنه إذا زادت الطاقة لا تزال معتدلة، لذلك والتغيير في الشكل أيضا أن تكون هذه القضية.

(من اليسار) للتدفئة وضوح الشمس، وسوف يحدث مشوه تدريجيا، من أدنى حالة طاقة إلى حالة أعلى من الطاقة. (يمين) هذه عملية النقل من وجهة نظر الأمثل، فإن أفضل طريقة هي العثور على وضوح الشمس الموسع قليلا من حالة مستقرة الأولية إلى التحرك، والدولة المسخ، أي تجد أكثر بين اثنين على شكل الكريستال الطولي رسم الخرائط النقل الممتاز. Figalli آخرون أثبتت أن نظام الكريستال إذا تم زيادة الطاقة مبلغ معين، ثم الفرق بين الشكل النهائي لشكل أولي من بلورات لن يتجاوز قيمة محددة. أثبتوا أيضا أن هذه القيمة يتم زيادة مستويات الطاقة الناجمة عن حدود صارمة الكريستال تشوه. | المصدر: QuantaMagazine

من "مونجي - معادلة أمبير" إلى "معادلة شبه الجيوستروفية"

المثال الثاني المتعلقة بعمل Figalli أنه وعدد من المتعاونين الانتهاء، وهذا العمل هو أيضا النتائج النظرية العميقة، وبعض النجاح يمكن تطبيقها على الفور إلى مسبقا المعادلة شبه الجيوستروفية التفاهم. في 1990s، الأرصاد الجوية أول من اقترح المعادلة شبه الجيوستروفية، واستخدامها لمحاكاة ديناميات الغلاف الجوي على نطاق واسع والمحيطات. خبراء الأرصاد الجوية للتعبير عن فهم لفيزياء الظواهر التدفق على نطاق واسع، ومثل السرعة والضغط والكميات الفيزيائية الأخرى ريح جيوستروفية.

على الرغم من أن المعادلة شبه الجيوستروفية يبدو توفر حدسي الوصف الصحيح للظواهر الغلاف الجوي والمحيطات، ولكن للحصول على حل موثوق بها للمعادلة صعب للغاية. في هذه الحالة، فإن الحل المعادلة قد لا تكون موجودة، أو أن هناك الكثير من الحل، ولكن الحل لا يمكن أن أقول التي تعبر عن هذه الظاهرة المادية الفعلية. الكمبيوتر يكاد لا تساعد كثيرا، بسبب الحاجة إلى تقريب قد يكون الحل النهائي غير صحيح المقدمة. ما نحتاج إليه هو الفهم النظري الصوت للنظام من المعادلات، والحل من وجود وتفرد النتائج صارمة.

وهذه هي بالتحديد التقدم Figalli والمتعاونين بإنشائه. يعتبرونه معادلة أخرى - مونجي - أمبير المعادلة (مونجي-أمبير المعادلة)، هذه المعادلة وقد درس على نطاق واسع في الرياضيات، لا سيما في الهندسة التفاضلية، والعديد من المشاكل تنشأ في مجالات العلوم والهندسة.

Figalli، الذي أثبت مونجي - أمبير معادلة انتظام (انتظام). مثل والاستقرار والانتظام هي واحدة من الخصائص الرياضية للظواهر الفيزيائية من أهم سمات. في الفيزياء، وسائل الانتظام أن النظام تتطور على نحو سلس. على سبيل المثال، سوف سحابة في السماء تتغير ببطء الشكل، لكنها لن تتحول فجأة إلى شكل مختلف تماما. إذا وصفت تطور السحابة رياضيا، وسترون أشياء مماثلة: مع تغير المعادلة قيمة المدخلات ببطء، نيابة عن شكل من قيمة الناتج الغيوم سوف تتغير ببطء. | المصدر: الحركة الإسلامية الأوزبكية

في الشوط الثاني لتغيير هذا الوضع، مونجي - وأعرب أمبير المعادلة من الكثافة واحد لكثافة الأمثل نقل أخرى، حيث "التكلفة" هي مربع المسافة المقطوعة (شكل من أشكال الطاقة الحركية). الكثافة قد تكون قطرات أو الجزيئات في سحابة، وأنها تتحرك في جميع أنحاء بطريقة مثلى. لكثافة معينة، مونجي - توفر أمبير المعادلة خريطة النقل الأمثل.

سحابة تغيير شكل لمحاكاة مجموعة من الجسيمات الدقيقة. | المصدر: الحركة الإسلامية الأوزبكية

على مدى العقود الخمسة الماضية، حول مونجي - أمبير المعادلة فشلت النتائج المعروفة عن لتوفير وسيلة واضحة للاتصال حالة النقل الأمثل في ظاهرة شبه الجيوستروفية. هذا هو السبب في Figalli والمتعاونين غيدو دي Philippis أكمل مع الناس الذين يعملون متحمس جدا. أنهم يفهمون مونجي - أمبير بنية حل المعادلة في تحقيق انفراج، وهذه المعادلة يوفر جعل مجرد نظرية النقل المثلى التي يمكن تطبيقها على المعادلة شبه الجيوستروفية في حاجة إلى شيء.

يعتبرونه الانتقال تدفق الهواء من الشكل الأولي ووضع خارطة النقل الأمثل بعد الشكل والموقف، وإثبات، على مقربة من الشكل الأولي لهذه النقطة، والشكل التالي لا تزال قريبة من بعضها البعض. ثم، فإنها أثبتت أن رسم الخرائط النقل تحتوي على هذه الميزة انتظام حلول للمعادلة شبه الجيوستروفية.

عملهم متوازنة برشاقة استراتيجية تكنولوجيا والبصيرة الإبداعية. بعد ذلك، دي Philippis، Figalli و لويجي أمبروسيو ، ماريا كولومبو معا، واستولت مباشرة المعادلة شبه الجيوستروفية، ويوفر اكتمل إلى حد كبير حل نطاق محدب ثلاثي الأبعاد.

مشكلة الحدود المجانية

وهناك مثال أخير من Figalli ذات الصلة العمل مشكلة الحدود المجانية (مشكلة الحدود الحرة). هذه المشاكل في الرياضيات وقد درس على نطاق واسع، وخاصة في السطوح الحد الأدنى (سطح الحد الأدنى) حيث الهندسية، وغالبا ما تظهر في الفيزياء وعلم الأحياء، فضلا عن العديد من المشاكل الصناعية والمالية.

النظر في غارقة في جليد الماء والجليد ودرجة الحرارة الداخلية أقل من 0 C المنطقة، ودرجة الحرارة أعلى من المنطقة الخارجية من الجليد 0 درجة مئوية. ثم شكل الحدود تقسيم المنطقتين هو كيف نحن فاعلون؟

مثال آخر هو ما يسمى العقبات (مشكلة العقبة). لنفترض خط أفقي ثابت لغشاء مرن التخلص تحت خط المنزل، ولها معامل المرونة للعقبة، على سبيل المثال كرة ثابتة على سطح المكتب. إذا تم خفض الفيلم على عقبة، فإننا سوف نرى اثنين من مناطق مختلفة من معامل المرونة من: الاتصال الجزء الكرة، وجزء من دون اتصال مع الكرة. ويطلق على الحدود بين المنطقتين الحدود مجانا.

عندما العقبة هي الكرة، والحد الفاصل بين منطقتين دائري. ومع ذلك، إذا عقبة أكثر تعقيدا أو غير منتظمة، ثم شكل الحدود من الصعب التنبؤ بها. هذه الرياضيات المشاكل في شكل تجريدي، حيث يتم جلب الكائن في الاتصال قد يكون أي البعد.

حدسي، ونحن تخمين حدود الحر هو على نحو سلس، ولكن لإثبات هذه التكهنات هو صعب للغاية. من حيث المبدأ، لا يمكن للحدود المجاني سيكون عبارة عن مجموعة غير منتظمة جدا، وحتى بنية كسورية الرسم، أو قد يكون نقطة فريدة ، التي هي شبك (شبك)، أضعاف (أضعاف)، أو التقاطعات الذاتي (تقاطع الذاتي). قبل 1970s، ونشكل ونعومة الحدود مجانية غير مفهومة، حتى أبسط الحالات. وتقدم مفتاح في عام 1977، لويس Caffarelli لل ثبت، وراء مجموعة من النقاط واحدة، حدود الحر هو على نحو سلس. وقال انه يعطي أيضا شكل دقيق إلى حد ما على مجموعة من شخصياته الوصف الهندسي.

على مدى السنوات ال 40 المقبلة، حققنا نتيجة فقط من تقرير في حالة وجود كائن ثنائي الأبعاد. لهذا السبب، عندما يعطي Figalli ومتعاون جواكيم سيرا في عام 2017 إلى حدود المجانية وصفا كاملا وواضحا من المحصول إلى الثناء الحار. أثبتوا أن، في ثلاثة أبعاد، حدود الحر هو على نحو سلس جدا، حتى تظهر بعض شخصياته معزولة. و، لأي البعد، فإنها أثبتت نتائج بقعة واضحة على سمة غريبة من الحدود مجانا. الطريقة الجديدة التي أدخلت في هذا العمل هو وجود تأثير واسع.

Figalli جعل التفكير السريع من زملائه أعجب جدا. قال له متعاون دايفيد جيريسون: "انه لا يصدق بسرعة، بسرعة معالجة المشاكل الأساسية التركيز معزولة بسرعة." وقالت زوجته Iacobelli أنه عندما يصف شخص Figalli قائمة طويلة من الإنجازات، وقال انه يبدو خجولا جدا، و جذبت التواضع لها. قال له متعاون أمبروسيو، Figalli لديها مزاج هادئ ودية للغاية. ولعل ذلك هو هذا مزاجه الهدوء، جعلته في مواجهة شكوك كبيرة في الرياضيات، وتبقى دائما الهدوء. | المصدر: الحركة الإسلامية الأوزبكية

وتحيط منطقة البحث Figalli بواسطة آلة تقنية قوية، والغرباء غالبا ما يصعب اختراقها. كمعلم لتشغيل هذا الجهاز، Figalli التي كتبها تفسيره المتميز على حل جميع انواع التفاصيل التقنية، وكشف عن هيكل مفاهيمي، وتوسيع مجال. نفوذه أيضا لأنه يتم تضخيمه في مباراة ودية وسخية في تبادل الأفكار مع الطلاب والزملاء الشباب. له مجموعة من الصفات الشخصية والمواهب الرياضية، مما يجعل Figalli يصبح الزعيم المثالي. نفوذه في مجال الرياضيات، قد بدأ لتوه.

جمع الرمال المسافر: الترجمة

المصدر المرجعي:

https://www.mathunion.org/fileadmin/IMU/Prizes/Fields/2018/figalli-final.pdf

https://www.mathunion.org/fileadmin/IMU/Prizes/Fields/2018/ALESSIO_FINAL.mp4

https://www.quantamagazine.org/alessio-figalli-a-mathematician-on-the-move-wins-fields-medal-20180801/